Public-Key-Kryptographie: Wie ein offenes Schloss ohne mathematisches Wunder funktioniert

14.07.2026 · 7 Min. Lesezeit

Im letzten Artikel haben wir das Grundproblem der klassischen, symmetrischen Verschlüsselung kennengelernt: Zwei Personen, die sich nie begegnet sind, können sich nicht ohne Weiteres auf einen gemeinsamen geheimen Schlüssel einigen, ohne dass ein Lauscher diesen Schlüssel ebenfalls mitlesen könnte. Als Lösung haben wir die Idee der asymmetrischen Verschlüsselung eingeführt, veranschaulicht mit einem offenen Vorhängeschloss, das jeder benutzen kann, um etwas für dich zu verschließen, das aber nur du mit deinem eigenen, niemals weitergegebenen Schlüssel wieder öffnen kannst. In diesem Artikel wollen wir uns anschauen, wie diese scheinbar magische Eigenschaft tatsächlich mathematisch zustande kommt – und zwar so, dass man es auch ohne Mathematikstudium nachvollziehen kann.

Die Grundzutat: Rechnen, das nur in eine Richtung leicht ist

Der Trick hinter der asymmetrischen Verschlüsselung beruht auf einer bestimmten Sorte von mathematischen Aufgaben, bei denen der Weg in die eine Richtung spielend leicht ist, der Weg zurück aber – ohne eine geheime Zusatzinformation – enorm aufwendig wird. Ein gutes Beispiel dafür ist die Multiplikation von Primzahlen. Eine Primzahl ist bekanntlich eine Zahl, die sich nur durch Eins und sich selbst ohne Rest teilen lässt, wie etwa 3, 11 oder 17. Nimmt man zwei solche Primzahlen und multipliziert sie miteinander, ist das eine Rechnung, die selbst von Hand in Sekunden erledigt ist: 11 mal 17 ergibt beispielsweise 187. Versucht man jedoch den umgekehrten Weg – man bekommt nur die Zahl 187 präsentiert und soll herausfinden, aus welchen zwei Primzahlen sie ursprünglich multipliziert wurde –, wird es plötzlich deutlich mühsamer. Man muss im Grunde systematisch verschiedene Primzahlen durchprobieren, bis man auf die richtige Kombination stößt. Bei einer kleinen Zahl wie 187 ist das noch in ein paar Minuten zu schaffen. Nimmt man aber zwei Primzahlen, die jeweils mehrere hundert Stellen lang sind, und multipliziert sie zu einer gewaltigen Zahl, dann würde selbst der schnellste Computer der Welt Jahrmillionen brauchen, um diese Zahl wieder in ihre beiden ursprünglichen Primfaktoren zu zerlegen. Genau dieses Ungleichgewicht – leicht in die eine, praktisch unmöglich in die andere Richtung – ist die Grundlage, auf der die bekanntesten asymmetrischen Verfahren aufbauen, allen voran das Verfahren namens RSA, benannt nach seinen drei Erfindern Rivest, Shamir und Adleman.

Ein kurzer Ausflug: Rechnen wie eine Uhr

Bevor wir das eigentliche Verfahren nachvollziehen können, brauchen wir noch ein zweites Werkzeug, das auf den ersten Blick ungewohnt wirkt, das du aber tatsächlich schon dein ganzes Leben lang benutzt: das Rechnen mit einer Uhr. Wenn es jetzt 10 Uhr ist und du fragst, wie spät es in 5 Stunden ist, rechnest du nicht 10 plus 5 gleich 15 Uhr im Sinne von “15 Uhr auf dem Zifferblatt”, sondern du springst automatisch wieder auf 3 Uhr zurück, sobald du bei 12 vorbeikommst. Diese Art des Rechnens, bei der man nach Erreichen einer bestimmten Obergrenze wieder von vorne beginnt, nennt man in der Mathematik “modulare Arithmetik”, oder umgangssprachlich “Rechnen modulo einer Zahl”. Bei der Uhr rechnet man modulo 12. Man kann sich aber ebenso gut eine Uhr mit beispielsweise 33 Stunden vorstellen und modulo 33 rechnen – das Prinzip bleibt exakt gleich, nur die Zahl, bei der man wieder von vorne beginnt, ändert sich. Diese Fähigkeit, mit sehr großen Zahlen zu rechnen und dabei ständig wieder in einen überschaubaren Bereich zurückzuspringen, ist genau das, was RSA so praktikabel macht, obwohl dabei eigentlich astronomisch große Zahlen im Spiel sind.

Wie ein Schlüsselpaar entsteht

Schauen wir uns nun Schritt für Schritt an, wie aus diesen beiden Zutaten – schwer umkehrbarer Multiplikation und modularer Arithmetik – ein tatsächliches Schlüsselpaar entsteht. Damit die Zahlen überschaubar bleiben, arbeiten wir mit einem stark verkleinerten Spielzeugbeispiel. In der echten Welt wären die beteiligten Zahlen mehrere hundert Stellen lang, das Prinzip dahinter ist aber identisch.

Am Anfang wählt man zwei Primzahlen, die geheim bleiben. Nehmen wir die Zahlen 3 und 11. Multipliziert man sie, erhält man 33 – das ist unsere kleine “Uhr”, also die Zahl, modulo derer wir später rechnen werden, und sie wird Teil des öffentlichen Schlüssels. Als Nächstes braucht man noch eine zweite Zahl, die aus den beiden Primzahlen abgeleitet wird und die man sich als eine Art “Spielraum” der Uhr vorstellen kann; in unserem Beispiel ergibt sich daraus die Zahl 20. Diese Zahl bleibt ebenfalls geheim und wird ausschließlich zur Berechnung der beiden Schlüssel benötigt.

Nun sucht man sich eine weitere Zahl aus, die zusammen mit besagtem “Spielraum” keine gemeinsamen Teiler hat – nehmen wir die Zahl 7. Diese Zahl wird zum sogenannten öffentlichen Exponenten, gemeinsam mit der 33 von vorhin bildet sie den öffentlichen Schlüssel, den man also bedenkenlos an jeden weitergeben darf. Und schließlich berechnet man noch eine letzte Zahl, die genau die Eigenschaft hat, die 7 in gewissem Sinne “rückgängig” zu machen, wenn man modulo unseres Spielraums von 20 rechnet – in unserem Beispiel ist das die Zahl 3. Diese Zahl bildet zusammen mit der 33 den privaten Schlüssel, der niemals das Gerät des Eigentümers verlässt.

Zusammengefasst haben wir also: Der öffentliche Schlüssel besteht aus den Zahlen 7 und 33, der private Schlüssel aus den Zahlen 3 und 33. Diese beiden Zahlenpaare hängen untrennbar zusammen – man kann das eine aus dem anderen aber, wie eingangs beschrieben, praktisch nicht zurückrechnen, weil man dafür wieder die beiden ursprünglichen Primzahlen 3 und 11 aus der Zahl 33 herausfinden müsste, was bei kleinen Zahlen wie hier zwar noch machbar, bei echten, riesigen Schlüsseln aber unmöglich ist.

Verschlüsseln und Entschlüsseln in der Praxis

Nehmen wir an, jemand möchte dir die geheime Nachricht “2” schicken – der Einfachheit halber verschlüsseln wir hier eine einzelne kleine Zahl anstelle eines ganzen Textes, echte Systeme übersetzen Buchstaben und Texte in entsprechend größere Zahlen, das Prinzip bleibt aber gleich. Die Person nimmt deinen öffentlichen Schlüssel, also die 7 und die 33, und berechnet damit Folgendes: Sie nimmt die Nachricht, hier die 2, und multipliziert sie sieben Mal mit sich selbst, springt dabei aber immer wieder auf unserer 33er-Uhr zurück, sobald sie diese Zahl überschreitet. Am Ende dieser Rechnung kommt die Zahl 29 heraus – das ist der Geheimtext, den die Person nun bedenkenlos über einen unsicheren Kanal an dich verschicken kann.

Empfängst du die 29, nimmst du deinen privaten Schlüssel, also die 3 und die 33, zur Hand. Du multiplizierst nun die 29 drei Mal mit sich selbst, wieder mit demselben Zurückspringen auf der 33er-Uhr, sobald die Zahl zu groß wird. Und tatsächlich – am Ende dieser Rechnung kommt exakt wieder die ursprüngliche Nachricht heraus: die 2. Was auf den ersten Blick wie Zauberei aussieht, ist schlicht die Konsequenz davon, wie die Zahlen 7, 3, 20 und 33 am Anfang mathematisch sorgfältig aufeinander abgestimmt wurden. Ein Außenstehender, der nur die 29 und den öffentlichen Schlüssel 7 und 33 kennt, hat keine praktikable Möglichkeit, daraus die 2 zurückzuberechnen, ohne den privaten Schlüssel 3 zu besitzen – und diesen wiederum kann er nur berechnen, wenn er es schafft, die 33 in ihre beiden Primfaktoren 3 und 11 zu zerlegen. Bei einer derart kleinen Zahl wie 33 ist das trivial, weshalb dieses Spielzeugbeispiel in der Realität natürlich völlig unsicher wäre; echte Schlüssel verwenden Primzahlen, die jeweils mehrere hundert Stellen lang sind, wodurch die zugehörige “Uhr” so gewaltig groß wird, dass eine Zerlegung in ihre Primfaktoren mit heutiger Rechenleistung praktisch ausgeschlossen ist.

Eine überraschende Symmetrie innerhalb der Asymmetrie

Ein Detail an diesem Verfahren verdient noch besondere Aufmerksamkeit, weil es später noch sehr wichtig werden wird: Die beiden Rechenoperationen – einmal mit dem öffentlichen, einmal mit dem privaten Schlüssel – sind mathematisch gleichwertig und lassen sich auch in umgekehrter Reihenfolge anwenden. Man kann also nicht nur mit dem öffentlichen Schlüssel verschlüsseln und mit dem privaten entschlüsseln, sondern grundsätzlich auch umgekehrt: Man nimmt eine Nachricht, wendet zuerst die private Rechenoperation darauf an, und jeder, der den zugehörigen öffentlichen Schlüssel besitzt, kann diese Operation wieder rückgängig machen. Auf den ersten Blick scheint das wenig nützlich, denn schließlich ist der öffentliche Schlüssel ja frei zugänglich – jeder könnte die Nachricht also “entschlüsseln”. Doch genau diese Eigenschaft eröffnet eine völlig neue Anwendung, bei der es gar nicht mehr darum geht, eine Nachricht geheim zu halten, sondern darum, zweifelsfrei zu beweisen, dass eine Nachricht wirklich von einer bestimmten Person stammt und unterwegs nicht verändert wurde. Denn nur der Besitzer des privaten Schlüssels kann diese spezielle Rechenoperation überhaupt durchführen; lässt sie sich mit dem passenden öffentlichen Schlüssel erfolgreich rückgängig machen, ist damit belegt, dass tatsächlich der rechtmäßige Besitzer des privaten Schlüssels am Werk war.

Ausblick

Damit haben wir das nötige Rüstzeug beisammen, um im nächsten Artikel dieser Reihe die digitalen Signaturen zu behandeln – jenes Verfahren, mit dem sich die Echtheit und Unversehrtheit von Nachrichten, Software-Updates oder Dokumenten überprüfen lässt, indem man genau die eben beschriebene, umgekehrte Anwendung des Schlüsselpaars ausnutzt. Wer bis hierhin gefolgt ist, hat den größten Teil der Denkarbeit bereits erledigt: Digitale Signaturen sind, mathematisch betrachtet, kein neues Verfahren, sondern lediglich eine clevere Umkehrung dessen, was wir in diesem Artikel kennengelernt haben.